机械设计实用计算之弯矩
一、梁
以弯曲变形为主的杆件，称为梁。
工程实践中常见的发生弯曲变形的杆件有桥式起重机的大梁、火车轮轴以及车床上的镗孔车刀等。
发生弯曲变形的杆件的变形特点是，偏上的纤维缩短，偏下的纤维伸长。凹入一侧纤维缩短；凸出一侧纤维伸长。中性层的纤维长度不变。中心轴上各点σ=0，各横截面绕中性轴发生偏转。中性轴的位置过截面形心。
中性轴的特点：
平面弯曲时梁横截面上的中性轴一定是形心主轴；它与外力作用面垂直；中性轴是与外力作用面相互垂直的形心主轴。
发生弯曲变形的杆件的受力特点是，受到垂直于杆轴线方向的横向力，或是位于杆轴平面内的外力偶。
如果梁具有一个固定端，或在梁的两个截面处分别有一个固定铰支座和一个可动铰支座，就可保证此梁不产生刚体运动。且支座反力均可由静力平衡方程完全确定，这种梁称为静定梁。
未知反力的数目多于平衡方程的数目，仅由静力平衡方程不能求解的梁，称为静不定梁或超静定梁。
静定梁的三种基本形式：简支梁、悬臂梁和外伸梁。
1）简支梁
梁的两端分别由一个固定铰支和一个可动铰支支承的梁称为简支梁。
2）悬臂梁
梁的一端为固定端支承，另一端为自由端。这种梁称为悬臂梁。
3）外伸梁
梁由一个固定铰支和一个可动铰支支承，并且梁的一端或两端伸出支座外。这种梁称为外伸梁。
习惯上把简支梁和外伸梁两个铰支座之间的距离称为跨度，用l表示。悬臂梁的跨度是固定端到自由端的距离。
二、受弯杆件的简化：
支座的几个基本形式：
1）可动铰支
如上图所示，只限制梁沿支承面法线方向的线位移，因此只有一个作用点在铰链中心并沿着支承面法线方向的支座反力。
例如：
一般传动轴的两端为短滑动轴承，在载荷作用下引起轴的弯曲变形，并使两端横截面发生角度很小的偏转。由于支承处的间隙等原因，短滑动轴承并不能约束轴端部横截面绕z轴或y轴的微笑偏转。这样就可以把短滑动轴承简化成铰支座。又因轴肩与轴承的接触限制了轴线方向的位移。故可以把其中的一个简化为固定铰支座，另一个简化为可动铰支。
2）固定铰支
如上图所示，限制梁在支承面内任意方向的线位移，因此支座反力用两个大小未知的正交分力表示，其作用线通过铰链中心。
例如：
止推轴承和桥梁下的不动铰支座等均可简化为固定铰支座。
3）固定端
如上图所示，限制梁端截面沿任意方向的线位移和角位移，因此支座反力用两个大小未知的正交分力和一个约束力偶表示。
例如：
金属切削机床上的刀架和车刀，由于刀架既能阻止车刀在支承端发生移动，有能阻止在支承端发生转动，因此可以简化为固定端。
三、载荷的简化
1）集中载荷
当载荷在梁上的分布范围远小于梁的长度时，简化为作用于一点的集中力。
2）分布载荷与载荷集度
当载荷沿梁的全长或部分长度连续分布时，简化为分布载荷。
附：
（1）力矩：
力使物体绕某点转动的力学效应称为力对该点之矩，简称力矩。力对点之矩以符号Mo（F）表示。
如：用扳手旋转螺母。
当力的作用线过矩心时，则它对矩心的力矩等于零；当力沿其作用线移动时，力对点之矩保持不变。
力矩的常用单位牛顿*米（N*m）或千牛顿*米（kN*m）
（2）力偶&力偶矩
力偶可以理解为一个特殊的力系，该力系既无合力又不平衡，对物体作用时，外效应中仅有转动效应而无平移效应。力偶没有作用点，单个力不能平衡力偶。
由两个大小相等、方向反向且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，记作（F，F’）。力偶的两力之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶的作用面。
如：双手打方向盘、丝锥、水龙头所受的力。
力偶对o点之矩记作，Mo（F,F’），矩心o是任选的，可见力偶的作用效应决定于力的大小、力偶臂的长短以及力偶的转向，与矩心的位置无关。因此在平面问题中，将力偶中力的大小与力偶臂的乘积并冠以正负号称为力偶矩，记为M（F,F’）或简记为M。
四、剪力和弯矩
如上图所示，Fs切于横截面，称为截面I-I上的剪力，简称剪力。
剪力是切于横截面的分布内力系的合力。
内力偶矩M称为截面I-I上的弯矩，简称弯矩。
弯矩是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。
五、剪力和弯矩计算
1）截面法。
平衡方程：
注：
剪力和弯矩的两个规律：
①横截面上的剪力Fs等于此截面一侧梁上的所有外力在梁轴线的垂线（y轴）上的投影的代数和，即
②横截面上的弯矩M等于此截面上一侧梁上的所有外力对于该截面形心力矩的代数和，即
2）剪力和弯矩的符号规定：
正负号规定的不同表述方法：
（1）使梁的相邻截面产生左上右下的相对错动，则横截面上的剪力为正，否则为负。
（2）对于梁的左段而言，凡外力向上者（即，剪力向下），其值为正，否则为负。
（3）凡剪力对所取梁内任一点的力矩是顺时针转向为正；反之为负。
正负号规定的不同表述方法：
（1）凡弯矩使梁弯曲成凹形时，弯矩为正，弯曲成凸形时，弯矩为负。
（2）无论是梁的左段还是右段，凡外力向上者为正（弯矩使梁下缘纤维受拉），否则为负
（3）凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。
注：计算时，一般情况下均把未知剪力和弯矩假设为正。
六、剪力和弯矩方程
一般情况下，梁的横截面上的剪力和弯矩是随着横截面位置的变化而变化的。若一x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为横截面位置x的函数，即
这两个函数表达式就是剪力方程和弯矩方程。
将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，就是剪力图和弯矩图。
剪力图和弯矩图的绘制
1）画剪力图和弯矩图时，首先要建立一坐标系。一般取平行于梁轴线的横坐标为x，表示横截面的位置，纵坐标表示各对应横截面上的剪力Fs和弯矩M。然后根据载荷情况分段列出剪力方程和弯矩方程。
2）由截面法和平衡条件可知，在有集中力、集中力偶的位置和分布载荷的起点和终点位置处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些位置均为剪力方程和弯矩方程的分段位置。分段位置处的截面称为控制截面。
3）求出控制截面上的剪力和弯矩的数值（包括正负号），并将这些数值标在坐标系中的相应点处。控制截面之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程画出。最后注明和的数值。
静定刚架弯矩图的绘制
1）某些机器的机身或机架的轴线，是由几段直线组成的折现，如液压机机身、钻床床架、轧钢机机架等。这种机架的每个组成部分在其连接处夹角不变，即两部分在连接处不能有相对转动，这种连接成为刚节点。通常用涂黑的小扇形块来表示。
2）各部分由刚节点连接成的框架结构称为刚架。
3）刚架任意横截面上的内力，一般有剪力、弯矩和轴力。内力可由静力平衡方程确定的刚架称为静定刚架。
画剪力图和弯矩图的注意事项：
1）保证支座反力正确，通常需要对计算结果进行校核；
2）注意内力正负号与平衡方程有关，及其与外力和外力偶正负号的却别。前者根据变形确定正负号，后者根据力和力矩在坐标系中的方向和转向确定正负号；
3）画剪力图和弯矩图的关键是用截面法求控制截面的内力值（大小和方向），在利用微分关系或剪力方程和弯矩方程确定形状；
4）注意突变规律和端点规律在剪力图和弯矩图中的体现，这些规律实质上就是微段平衡条件的体现；
5）画出剪力图和弯矩图后，要利用微分关系、突变规律、端点规律进行校核，对刚架内力图要特别注意对刚架节点处平衡的校核。
七、微分方程
1）剪力与载荷集度成一阶导数关系：
剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度q。
2）弯矩与剪力成一阶导数关系：
弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。
3）弯矩与载荷集度成二阶导数关系：
弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度q。
规律总结：
1）若某段梁上没有分布载荷，即q（x）=0，则该段梁的剪力Fs（x）为常量，剪力图应为平行于x轴的直线；弯矩M（x）为x的一次函数，弯矩图应为一条斜直线。
2）若某段梁上作用一均布载荷，即q（x）=q=常量，则该段梁的剪力Fs（x）为x的一次函数，剪力图应为一条斜直线；弯矩M（x）为x的二次函数，弯矩图应为一抛物线。且当均布载荷向上（q＞0）时，剪力图为一斜向上直线，弯矩图为一开口向上的抛物线；当均布载荷向下（q＜0）时，剪力图为一斜向下直线，弯矩图为一开口向下的抛物线。
3）若某截面的剪力Fs（x）=0，则该截面上的弯矩M（x）为极值（极大值或极小值），即弯矩的极值发生在剪力为零的截面上。
在集中力作用截面的左、右两侧，剪力Fs有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化，成为一个折点。弯矩的极值就可能出现于这类截面上。
在集中力偶作用截面的左、右两侧，弯矩发生突然变化，这也可能出现弯矩的极值。
应用：
利用上述规律，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确，还可以根据上述微分关系来绘制剪力图和弯矩图。这时就不必再建立剪力方程和弯矩方程，其具体作图步骤如下：
1）求支座反力；
2）求控制截面的内力，并标在剪力和弯矩坐标系中；
3）分段确定剪力图和弯矩图的形状，并连接各点；
4）确定|Fs|max和|M|max。
剪力图和弯矩图的突变规律：
1）在集中力作用处，剪力发生突变，突变值就是此集中力的大小，且若集中力方向向上，则剪力向上突变；集中力方向向下，则剪力向下突变。
2）在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变值就是此集中力偶其矩的大小，且若集中力偶顺时针转动，则弯矩向上突变；集中力偶逆时针转，则弯矩向下突变。
八、梁平面弯曲时横截面上的正应力
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩这两种内力是同时存在的。弯矩是垂直于横截面的内力系的合理偶矩；剪力是相切于横截面的内力系的合力。所以弯矩M只与横截面上的正应力σ有关，而剪力只与横截面上的切应力τ有关。
如上图所示梁AC和DB两段，梁内横截面上既有弯矩又有剪力，因而同时存在正应力和切应力。这种情况称为横力弯曲。在CD段内，梁横截面上剪力为零，弯矩为常数，从而梁的横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。
弯曲正应力的分布规律是：
1）与点到中性轴的距离成正比，沿截面高度线性分布；
2）沿截面宽度均匀分布；
3）正弯矩作用下，上压下拉；
4）危险点的位置，离开中性轴最远处。
弯曲正应力的计算公式：
横截面上最大弯曲正应力：
上式反应了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。
上式的适用条件是:
1）纯弯曲或细长梁的横力弯曲；
2）横截面惯性积 Iyz=0，截面关于中性轴对称。
3）弹性变形阶段。
弹性力学精确分析表明：对于跨度L与横截面高度h之比L/h＞＞5的细长梁，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，其误差＜＜2%，满足工程中所需要的精度。
正应力强度条件：
式中：
σ一一弯曲正应力
M一一弯矩
Wz一一截面的抗弯截面系数；
此公式仅能保证构件不发生破坏，但如果构件的变形过大也不能正常工作。因此，构件的变形应限制在允许的范围内。
梁的弯曲切应力
横截面上的剪力产生切应力。
切应力强度条件
式中：
Fs一一截面切力;
Sz一一截面上距中性轴为y的横线下部分面积对中性轴的静矩；
Iz一一截面对中性轴的惯性矩
b一一截面的宽度
对于等宽度截面，τmax发生在中性轴上；
对于宽度变化的截面，τmax不一定发生在中性轴上。
值得注意的是：
对梁进行强度计算时，需注意以下问题。
1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应力的强度条件是次要的。一般情况下，以正应力设计为主，切应力设计为辅；
2）对于较粗短的梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件；
3）载荷离支座较近时，截面上的剪力较大；
4）薄壁截面梁时，抗剪能力较差；
5）木梁顺纹方向，抗剪能力较差；
6）工字形截面梁，要进行切应力校核；
7）正应力的最大值发生在横截面的上、下边缘，该处的切应力为零；切应力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零；对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力；这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。
梁在横力弯曲时，弯曲正应力最大的截面和切应力最大的截面通常不在一个横截面，而且最大正应力和最大切应力在截面上的位置也不同。最大正应力发生在上、下边缘处，对于矩形、圆形等截面最大切应力发生在截面的中性轴上。因此梁不仅要满足正应力强度条件，也要满足切应力强度条件。
对于细长梁，在截面设计中，若用矩形截面，则往往首先考虑正应力强度条件。也就是说，根据正应力强度条件确定的截面尺寸，一般都能满足切应力强度条件，因而常不需要计算切应力。而对于其他形式的梁，则要求梁既满足正应力强度条件，也要满足切应力强度条件。
九、提高弯曲强度和刚度的措施
由上式可知：
1）降低Mmax
（1）合理布置支座；
如外伸梁比简支梁承载弯矩小。
（2）合理布置载荷；
如安装齿轮时，尽量靠近轴承一侧。
（3）集中力分散
2）合理选择梁的截面
由上式可知
（1）合理设计截面
截面面积几乎不变的情况下，截面的大部分分布在远离中性轴的区域
截面设计经济性和合理性的衡量标准：
抗弯截面系数Wz越大、横截面面积A越小，截面越合理。
合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。
对于塑性材料，宜设计成关于中性轴对称的截面；
对于脆性材料，宜设计成关于中性轴不对称的截面，且使中性轴靠近受拉一侧。
3 )合理放置截面
如矩形截面，竖放比横放更合理。
为降低重量，可在中性轴附近开孔
4）采用超静定结构
十、弯矩和剪力计算实例
例1、如下图所示简支梁AB。已知集中力F=10kN，距离A端1.5m，梁的跨距l=4m，求距离A端0.8m处n-n截面上的剪力和弯矩。
解：解法一、取左段梁为研究对象。
（1）求梁的支座反力
列平衡方程
解得：
（2）截面法求梁的内力
列平衡方程：
解得：
解法二、取右段梁为研究对象。
同样，列平衡方程：
解得：
例2、如下图所示简支梁，在截面C上受一集中力F作用，试列出剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。
解:
1）求梁的支座反力
解得
2）建立建立方程和弯矩方程
以梁的左端为坐标原点，梁AB在A、B、C截面位置分别受集中力作用，因此这三个截面位置是剪力方程和弯矩方程的分段位置，故要分段建立建立方程和弯矩方程。
对于AC段，有
对于CB段，有
3）作剪力图、弯矩图
例3、如下图所以简支梁，在截面C上受一集中力偶作用，其矩为M。试列出剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。
解:
1）求梁的支座反力
解得
2）建立剪力方程和弯矩方程
对于AC段，有
对于CB段，有
3）作剪力图和弯矩图
例4、如下图所示一简支梁，在梁AC段上受均布载荷作用，其载荷集度为q。试列出剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。
解:
1）求梁的支座反力
解得
2）建立剪力方程和弯矩方程
对于AC段，有
对于CB段，有
3）作剪力图和弯矩图
例5、试求下图所示刚架的弯矩图。
解：
1）求梁的支座反力
一般来说应先根据平衡条件求出刚架的支座反力。但在本例中，由于刚架的A端是自由端，无需确定支座反力就可以直接计算弯矩。
2）分段作弯矩图
在横杆AC的范围内，把坐标原点取在A点，利用截面法求任意截面1-1（以左侧外力F来计算）弯矩，得
在竖杆BC的范围内，把原点放在C点，求任意截面2-2以上的外力来计算，得
在绘制刚架的弯矩图时，约定把弯矩图画在杆件弯曲变形凹入的一侧，亦即画在受压的一侧。这也与水平梁弯矩图的画法相一致。例如，根据竖杆的变形，在截面B处杆件的左侧凹入，即左侧受压，故将截面B的弯矩图画在左侧，如下图所示。
例6、如下图所示梁，利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1）求梁的支座反力
解得
2）求控制截面的内力，并标在剪力和弯矩坐标系中。
剪力：
弯矩：
3）分段确定剪力图和弯矩图的形状，并连接各点。
讨论，由上述计算可知剪力图和弯矩图的突变规律：
1）在集中力作用处，剪力发生突变，突变值就是此集中力的大小，且若集中力方向向上，则剪力向上突变；集中力方向向下，则剪力向下突变；
2）在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变值就是此集中力偶其矩的大小，且若集中力偶顺时针转，则弯矩向上突变；集中力偶逆时针转，则弯矩向下突变。
例7、如下图所示T型截面铸铁梁，截面尺寸如图所示， Iz=7.64x10^-6m^4；求最大拉应力、最大压应力。
分析：
1）非对称截面，要寻找中性轴位置；
2）作弯矩图，寻找最答弯矩的截面；
3）计算最大拉应力、最大压应力。
解：
1）求支座反力，作弯矩图
2）计算应力
B截面应力分布：
C截面应力分布
3）结论
例8、如下图所示机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。
d1=160mm，d2=130mm，a=0.267m，b=0.16m,F=62.5kN，材料的许用应力[σ]=60MPa。
分析：
1）轮轴为塑性材料，截面关于中性轴对称，适用弯曲应力公式；
2）危险截面：弯矩M最大的截面或抗弯截面系数Wz最小的截面；
3）危险点：危险截面的最上、下边缘处。
解：
1）计算支座反力绘制弯矩图如下
2）由上图可知，危险截面为 B截面、C截面
3）强度校核
B截面
C截面
4）结论
故，此轮轴满足强度条件。
例9、如下图所示，为某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重F1=6.7kN，起重量F2=50kN，跨度l=9.5m，材料的许用应力[σ]=140MPa，试选择工字钢的型号。
分析：
1）简化为力学模型;
2）确定危险截面；
3）截面为关于中性轴对称；
4）应用应力计算公式；
5）计算最大弯矩Mmax；
6）计算抗弯截面系数Wz，选择工字钢型号。
解：
1）绘制计算简图和弯矩图：F=F1+F2
2）危险截面
3）强度计算
4）选择工字钢型号（查型钢表）
例10、如下图所示T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。[σt]=30MPa，[σc]=60MPa，试校核梁的强度。
解：
1）求截面形心
建立下图坐标系，
2）求截面对中性轴z的惯性矩
3）求支座反力，作弯矩图
4）确定危险截面
B截面强度计算
C截面强度计算
5）结论
故，该梁满足强度条件。
例11、如下图所示悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许用切应力为0.34MPa，木材的[σ]=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷F。
解：
1）绘制梁的剪力图和弯矩图
2）按正应力强度条件计算许可载荷
3）按切应力强度条件计算许可载荷
4）按胶合板强度条件计算许可载荷
5）梁的许可载荷为
例12、如下图所示三角形托架，AB杆为16号工字钢。已知Fp=8k N，材料的[σ]=100MPa。试校核AB杆强度。
解：
受力分析如下图：
1）CD杆的内力
2）校核AB杆强度
故杆件安全。
例13、如下图所示，夹具在夹紧零件时，受力F=2kN，已知螺钉轴线与夹具竖杆的中心线距离e=60mm，设夹具竖杆的横截面尺寸为b=10mm和h=24mm，夹具材料的许用应力[σ]=200MPa，试校核夹具竖杆的强度。
解：
1）求解竖杆的内力。
任意m-m横截面上的内力：
轴力为Fp，弯矩为M
2）确定危险截面上的危险点，强度计算
故夹具竖杆安全。
例14、如下图所示，一直径d=8mm的圆钢弯制成的开口链环，其受力及形状尺寸如下图。试求：（1）链环直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力；（2）中性轴与横截面形心之间的距离。
解：
1）确定直段部分横截面上的内力
FN=800N;M=12N*m
2）计算直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力：
3）求中性轴与横截面形心之间的距离。
例15、如下图所示，铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。
解：
受力分析如下图：
1）计算横截面的形心、面积、惯性矩：
2）立柱横截面的内力
3）立柱横截面的最大应力
4）求压力F
故许可压力为F≤45000N=45kN。
例16、试分析细长轴车削过程中顶尖的作用。已知：工件的抗弯刚度为EIz，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。
解：
1）分析：此案例属于1次超静定问题。
用变形比较法列出变形比较条件，
其中，
解得：
用叠加法解得C处的挠度为：
2）如果没用顶尖的作用，在刀尖作用点处挠度为：
求得有无顶尖作用时，在刀尖处变形比为：
结论：
可见用顶尖可有效地减小工件的变形，因而，在细长轴加工中哟啊设置顶尖，甚至使用跟刀架。
例17、如下图所示，已知钢制圆轴左端受力为F=20kN，a=1m，l=2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角[θ]=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。
解：
根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B处转角不超过许用数值。
1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为：
2）由刚度条件确定轴的直径：θB ≤[θ]
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